UTS MK Ilmu Bilangan (2 SKS)

UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS)

                        MATA KULIAH                                : ILMU BILANGAN

                        SEMESTER/KELAS                      : I / A-B-C

                        HARI / TANGGAL                          : SENIN, 22 NOPEMBER 2010

                        WAKTU                                             : 60 MENIT

1.    1. Jika a,b  bilangan real dengan operasi   didefinisakan sebagai berikut :  a  b = a + b -3.   

        Apakah operasi berlaku :

a.    Sifat tertutup?

b.    Sifat komutatif?

c.    Sifat assosiatif?

d.    Unsur satuan?

e.    Unsur invers?

Jelaskan dengan mengambil sebuah contoh!

                                                                                                          (Skor 25)

Penyelesaian

a.    Ambil a = 4, b = 5 dan c = 2 dimana a,b,c  Real

Maka  a  b = 4 + 5 – 3

                   = 9 – 3

                   = 6  Real

Jadi berlaku sifat tertutup.

b.    a  b = 4 + 5 – 3 = 6

b  a = 5 + 4 – 3 = 6

jadi a  b = b  a, berlaku sifat komutatif.

c.    (a  b)  c = (4 + 5 – 3)  2

                   = 6  2 = 6 + 2 – 3 = 5

a  (b  c) = 4  (5 + 2 – 3)

                   = 4  4 = 4 + 4 – 3 = 5

Jadi (a  b)  c = a  (b c), berlaku sifat assosiatif.

d.    (a 3) = a +3 – 3 = a

(3 a) = 3 + a – 3 = a

Jadi  (a 3) = (3 a) = a, terdapat unsur satuan identitas 3

e.    Misalkan invers operasi  dari a  Real adalah p  Real, maka harus berlaku

p  a = 3

 p + a – 3 = 3

             p = 6 – a

Jadi invers  dari a  Real adalah (6 – a)  Real, sebab :

a  (6 – a) = a + 6 – a – 3 = 3

2.    2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan , dengan

Penyelesaian :

H.P = { 1/3i , -3i}

  

3.   3. Tentukan suatu persamaan dengan koefisien real yang akar-akarnya :   akar 2i, 1 – i

                                                                                                                 

          Penyelesaian :

          (x - √2 i)[x – (1 – i)][x - (1 + i)] = 0

          (x - √2 i)[x² – x – xi – x + xi + 1 – i² = 0

          (x - √2 i)(x² – 2x + 2) = 0

          x³ – 2x² + 2x - √2 ix² + √2 ix - 2√2 i = 0

          x³ – (2  + √2 i)x² + (2 +√2 i)x - 2√2 i = 0

4.    4. Tentukan akar dari bilangan kompleks -5 + 12i

Penyelasaian :

Misalkan akar dari -5 + 12i = a + bi,  maka :

(a + bi)² = -5 + 12i

a² + 2 abi + b²i² = -5 + 12i

a²  - b² + 2abi  = -5 + 12i, didapat kesamaan :

a²  - b² = -5 .......................(1)

    2abi = 12i

       ab = 6

                  a  = 6/b ....................(2)

subtitusi (2) ke (1), maka didapat :

                (kedua ruas dikali b²)

36 – b⁴ = - 5b²

b⁴ - 5b² – 36 = 0                                  untuk b₁ = 3 maka a₁ = 2

(b² – 9)(b² + 4) = 0                                       b₂ = -3 maka a₂ = -2

b² = 9 atau b² = -4                                        b₃ = 2i maka a₃ = -3i

b₁ = 3        b₃ = 2i                                        b₄ = - 2i maka a₄ = 3i

b₂ = -3       b₄ = - 2i

Jadi akar dari -5 + 12 i adalah 2 + 3i atau -2 – 3i

5.    5. Jelaskan tentang sistem numerasi suku maya! (lambang yang digunakan, bilangan dasar yang digunakan, contoh penggunaan untuk bilangan 74.645 dalam sistem numerasi maya)

Penyelesaian.

      Lambang – lambang dari sistem numerasi ini adalah gabungan antara garis dan noktah. Dimana untuk bilangan yang lebih dari 19 menggunakan basis 20, sedangan untuk bilangan – bilangan yang besar menggunakan basis 18.20, 18.20², 18.20³, ...,18.20ⁿ.

      Dalam sistem penulisan  numerasi ini dimulai dari atas ke bawah, mulai dari pangkat yang tertinggi sampai pangkat terendah. Lambang-lambang dasar yang digunakan adalah sebagai berikut :

     

      1  =   ●                                       

      2  =  ● ●

      3  =  ● ● ●

      4  =  ● ● ● ●

      5  =   ▬

      6  =   ● _

      7  =   ●●

     8  =  _●●●

     9  =   ●●●●

      10 =  ═

    0  =  ө