Powered By Blogger

Jumat, 21 Oktober 2011

1.1. Pengertian Bilangan
Bilangan adalah suatu hal yang penting dalam matematika, begitu penting dan erat hubungannya dengan matematika, sehingga kalau kita membicarakan matematika maka dengan sendirinya bilangan terlibat didalamnya. Semua pelajaran yang menyangkut matematika seperti Aljabar, Geometri, Kalkulus, Vektor, dan cabang-cabang matematika lainnya tidak terlepas dari bilangan, bilangan bukan simbol, bukan pula angka. Tanda-tanda atau goresan yang biasa ditemukan pada kertas, batu-batu, tanah liat, dan sebagainya bukan bilangan tetapi lambang bilangan.
Oleh sebab itu apakah yang dimaksud dengan bilangan ? dalam matematika perkataan bilangan bisa untuk menyatakan jumlah atau banyaknya sesuatu. Umpamanya kita lihat dalam kalimat berikut ini :” Anak saya tiga orang”, artinya anak saya jumlahnya atau banyaknya tiga orang.

1.2. Lambang Bilangan
Dalam pendahuluan bilangan diberi lambang yang disebut lambang bilangan. Lambang bilangan itu bermacam-macam. Dalam sejarah kita mengenal sistem numerasi (angka) Mesir, Babylonia, Yunani, Cina-jepang, Rumawi, Arab, dan lain-lain. Yang lazim kita pergunaan sekarang ialah sistem angka Hindu-Arab. Lambang bilangan itu disebut juga angka.
Umpamanya dalam sistem numerasi Hindu-Arab:
(1)Anak saya tiga orang
Perkataan ”tiga” dapat ditulis ”3”. Jadi ”3” adalah lambang bilangan dari tiga”.
(2)Mobilnya empat buah
Perkataan ’empat” dapat ditulis ”4”. Jadi ”4” adalah lambang bilangan dari
empat”.
(3)Pohon cengkeh Pak Ali seribu pohon
Perkataan ’seribu” dapat ditulis ”1000”. Jadi ”1000” adalah lambang bilangan
dari ”seribu”.
Dalam kehidupan sehari-hari perbedaan antara bilangan sering terlupakan. Umpanya sudah menjadi kebiasaan umum untuk mengatakan :”tulislah bilangan yang lebih besar dari lima”. Padahal kalau sudah ditulis bukan lagi bernama bilangan tetapi lambang bilangan. Boleh jadi alasan yang dikemukakan ialah hilangnya perbedaan antara bilangan dan lambang bilangan di sini tidak begitu penting.nampak pentingnya membedakan hal ini bila akan memberikan pengertian dalam mempelajari sifat-sifat bilangan.
Dalam program ilmu hitung tradisional, hal ini memang tidak mendapatkan penekanan, karena penekanan diarahkan kepada penguasaan lambang Hindu-Arab demi keterampilan berhitung. Tetapi akibatnya konsep bilangan yang abstrak itu jadi hilang.
Sekarang ini kebanyakan penduduk dunia, paling sedikit mengenal dua macam lambang bilangan, yaitu lambang bilangan Hindu-Arab dan Romawi. Lambang bilangan Romawi ini banyak dipergunakan dalam hal-hal tertentu, umpanya dalam resep-resep dokter dan untuk menyatakan urutan. Untuk perhitungan-perhitungan lambang bilangan Hindu-Arab lebih banyak dipergunakan dari lambang bilangan Romawi, antara lain karena lambang bilangan itu telah memakai sistem posisi (nilai tempat), sedang lambang bilangan Romawi belum memakai sistem tersebut.

1.3. Riwayat perkembangan bilangan
1.3.1 Perhitungan Primitif
Pengertian bilangan dan proses perhitungan telah dikenal lama sejak jaman Prasejarah, walaupun masih sangat sederhana. Prinsip yang mereka pergunakan adalah dengan memakai sistem korespondensi1-1. misalnya dalam menghitung ternak mereka, mereka memakai satu coretan (garis) untuk satu ekor. Biasa juga mereka memakai jari-jari tangan atau kaki karena jari-jari terbatas jumlahnya, maka untuk jumlah yang lebih besar mereka memakai batu-batu kerikil atau potongan-potongan kayu denganmembuat goresan-goresan di dinding atau dengan membuat simpul-simpul pada seutas tali.
1.3.2 Dasar bilangan
Lama-kelamaan sesuai dengan kebutuhan karena perkembangannya ilmu pengetahuan, untuk memudahkan perhitungan itu perlu disusun secara lebih sistematis. Hal ini dilakukan dengan menyusun bilangan itu menjadi grup-grup dasar yang sederhana. Besar dari grup itu diatur dengan pengaturan yang serasi.
Caranya adalah sebagai berikut:
Kita mengambil bilangan b sebagai dasar yang disebut ”radiks” atau ”scale” untuk perhitungan. Maka dalam menghitung dinyatakan sebagai berikut: 1, 2, 3, ..., b.
Untuk bilangan-bilangan yang lebih besar dari b, dinyatakan dengan bilangan-bilangan yang telah ditentukan, yaitu : b+1, b+2, dan seterusnya. Mungkin karena jari-jari kita hanya berjumlah 10 buah, maka untuk praktisnya nenek moyang kita mengambil bilangan b itu adalah 10, yang kita pergunakan sampai sekarang dalam perhitungan-perhitungan. Jadi, mereka menghitung : 1, 2, 3, ..., 10. Sedangkan bilangan-bilangan selanjutnya adlah 10+1, 10+2, 10+3, dan seterusnya. Tetapi di samping bilangan 10 yang dipakai ada pula bangsa-bangsa (primitif) lain yang mempergunakan bilangan dengan dasar bukan sepuluh.
Umpamanya penduduk asli Quessnsland (Australia) memakai bilangan dua sebagai dasar. Jadi, cara perhitungan mereka adalah satu dan dua. Sedangkan untuk bilangan yang lebih besar mereka hanya mengatakan banyak.
Bangsa Tierra del fiego memakai bilangan 3 sebagai dasar, dan beberapa suku bangsa di Amerika Selatan memakai bilangan dasar 4. sedangkan sebuah bangsa di Afrika menghitung sebagai berikut: A = 1, oa=2, ua=3, oa-oa=4, oa-oa-a=5, oa-oa-oa= 6, dan seterusnya.
Dengan berdasarkan bilangan dasar itulah akhirnya istilah-istilah baru seperti :
12 = 1 lusin
20 = 1 kodi
60 = 1 widak
144= 1 gross
60 detik = 1 menit
60 menit = 1 jam
24 jam = 1 hari
7 hari = 1 minggu
30 hari = 1 bulan, dan seterusnya

1.3.3 Sistem bilangan tertulis
Sesuai dengan perkembangan perdaban mereka merasa perlu mencatat harta kekayaannya, seperti jumlah ternak, hasil pertanian, dan lain-lain. Mereka mulai menulis bilangan-bilangan yang dipergunakannya. Bilangan-bilangan tertulis (Writer number) itu disebut angka atau numerial.
Dengan demikian sampai sekarang kita telah mengenal beberapa macam sistem angka seperti sistem angka Hindu-Arab (yang kita pergunakan sekrang), Mesir Purba, Babylonia, Yunani, Romawi, Cina-Jepang, Attika, Arab, dan lain-lain.

1.4 Sistem Angka (Numerasi)
Seperti telah diuraikan di atas angka adalah bilangan yang ditulis dalam bentuk lambang-lambang. Dengan perkataan ini angka adalah bilangan yang dituliskan dalam bentuk simbol, lambang, atau notasi. Sedangkan sistem angka adalah penulisan secara sitematis dari lambang-lambang bilangan itu. Sekarang yang lazim kita pergunakan adalah sistem angka Hindu-Arab. Disamping itu masih banyak sistem yang lain. Selanjutnya akan diperbincangkan beberapa macam sistem angka.

1.4.1 Sistem Ijir (Tally)
Perhitungan yang paling terdahulu dan paling sederhana adalah perhitungan dengan memakai korespondensi 1-1, sistem ini disebut sistem ijir atau tally. Caranya ialah dengan memakai satu goresan atau tongkat untuk satu objek yang dihitung.
Contoh :
1) Bila seseorang mempunyai empat ekor kambing maka dia akan menyusun tongkat (goresan) sebanyak empat buah, yaitu : ││││
2) Ayam kepunyaan ayah 3 ekor digabungkan dengan ayam anaknya 4 ekor, jadi jumlahnya │││ + ││││ = │││││││
Untuk memudahkan perhitungan, maka setiap 5 tongkat (goresan) dikelompokkan menjadi satu kelompok yang ditulis dengan ││││ dan disebut satu ikat. Jadi dalam contoh di atas :
Ayam ayah + ayam anak = │││││││ = ││││ ││
Walaupun cara ini primitif dan sederhana namun sampai sekarang masih banyak dipergunakan, umpamanya dalam penyusunan data untuk pembuatan tabel distribusi frekwensi dalam statistika.

1.4.2 Sistem angka (Numerasi) Mesir Purba
Kira-kira 3400 tahun sebelum masehi bangsa Mesir telah mengenal tulisan Hierogyphics (tulisan Mesir Kuno), tulisan ini mereka pahat pada batu-batu, papyrus, pohon kayu, barang-barang pecah belah, dan lain-lain. Tulisan Mesir Kuno ini berkembang dari sistem Ijir yang dikelompokkan sepuluh-sepuluh menjadi bilangan dasar 10, karena mereka telah mengenal bilangan-bilangan yang lebih besar. Keunikan dari sistem angka Mesir Kuno, pada setiap perpangkatan 10 sampai dengan 106 mempunyai lambang tersendiri..
Lambang-lambang itu adalah:
1 = │ Stroke (tongkat)
10 = ⋂ Heel bone ( tulang tumit )
100 = פ Scroll (gulungan surat)
1000 = ♣ Lotus flower (bunga teratai)
10.000 = ¶ a pointing finger (jari telunjuk)
100.000 = ∝ Burbit fish (ikan burbot)
1000.000 = ♀ a man in astonishment (orang keheranan)

Untuk menuliskan satu bilangan, maka lambang-lambang yang menunjukkan bilangan-bilangan itu disusun pada suatu garis mendatar. Nilai bilangan yang dinyatakan dengan suatu sistem adalah jumlah nilai-nilai dari bilangan-bilangan yang dilambangkan oleh lambang-lambang dasar. Perlu diketahui bahwa posisi atau tempat dari setiap lambang tidak mempengaruhi nilai bilangan.
Contoh-contoh :
4 = ││││
12 = ⋂ ││ atau ││ ⋂ atau │ ⋂│
35 = ⋂⋂⋂ │││││
321 = פ פ פ ∩∩I
3313 = ♣♣♣ פפ פ ∩I
13.013 = ¶♣♣♣∩III
Karena posisi lambang tidak mempengaruhi nilai bilangan, maka lambang-lambang di atas dapat dipertukarkan tempatnya jadi bilangan-bilangan :
III ♣∩ = ♣III∩ = ∩III♣
Mempunyai nilai yang sama, yaitu 1023.
Untuk menuliskan pecahan, lambangnya ditunjukkan dengan membuat “ellips” di atas bilangan pembaginya, kecuali untuk pecahan-pecahan 1/2, 1/3 dan 2/3 mempunyai lambang tersendiri.
Yaitu 1/2 = ⊂, 1/3 = dan 2/3 = φ

1.4.3 Sistem angka (Numerasi) Babylonia
Bangsa Babylonia ( 1000 – 200 sebelum Masehi) telah mengenal suatu sistem angka. Untuk sitem angka ini hanya mempunyai dua lambang dasar, yaitu ▼ = 1 dan ◄ = 10.Untuk hitungan kecil di bawah 60 dituliskan dengan pengelompokan yang sederhanamenggunakan dasar 10. untuk menyederhanakan penulisan lambang bilangan dipakai suatu simbol pengurangan, yaitu ▼◄
Contoh :
1. 25 = ◄ ◄ ▼▼▼
▼▼

2. 38 = 40 – 2 = ◄◄◄◄ ▼◄ ▼▼ atau ◄◄ ▼◄ ▼▼
◄◄



Untuk bilangan yang lebih dari 60 dipergunakan bilangan dasar 60.
Contoh.
3. 80 = 1 (60) + 20 = ▼ ◄ ◄
4. 4000 = 1(60)² + 6 (60) + 40 + ▼ ▼▼▼ ◄◄◄◄
▼▼▼
5. 456.151 =2(60)³+6(60)²+42(60)+31 =▼▼ ▼▼▼ ◄◄▼▼ ◄◄◄▼
▼▼▼ ◄◄
Kita lihat setiap koefesien dari 60n ditulis dari kiri ke kanan mulai dari koefesien pangkat yang tertinggi sampai yang terkecil diakhiri dengan bilangan satuan. Posisi pada setiap lambang bilangan tidak boleh diubah sebab akan mempengaruhi nilai dari bilangan itu. Tulisan Babylonia ini disebut juga cunieform yang biasa ditulis pada tanah liat dengan menggunakan ujung tongkat. Pada ujung tongkat itu ditulis lambang bilangan-lambang bilangan yang diperlukan.
Daerah tempat sistem ini dipergunakan ialah disekitar sungai Eufrat dan Tigris (sekrang dikenal dengan nama Irak). Sistem numerasi ini merupakan sistem bilangan aditif yang dipadukan dengan sistem posisi (nilai tempat). Seperti terlihat pada contoh-contoh di atas, simbol ▼ selain menunjukkan 1 juga dapat menunjukkan 60, 602, 603, ... 60n. Begitu juga < selain menujukkan 10, juga dapat menunjukkan 10.60, 10.602, 10.603, ... 10.60n
Contoh :
1. ▼◄ ▼ dapat berarti : a. 60 + 10 + 1 = 71
b. 602 + 10.60 + 1 = 4201
c. 603 + 10. 602 + 1.60 = 252.060
Oleh karena itu untuk menghidari kekeliruan dalam menafsirkan nilai dari lambang-lambang tersebut biasanya digunakan tanda selang.
Contoh :
1. a. ▼▼▼▼ = 4 ( tanpa selang)
b. ▼ — ▼▼▼ = 63 ( pakai selang satu )
c. ▼— — ▼▼▼ = 60² + 3 = 3603 ( pakai selang dua )
2. tulislah dalam sistem hindi – arab
▼— — ▼—◄▼▼▼ = 1(60)² + 18.60 + 13 = 4693


1.4.4 Sistem aneka (Numerasi) Alphabet Yunani
Kira-kira tahun 450 s.M. bangsa Ionia dari Yunani telah mengembangkan suatu sistem angka, yaitu alphabet Yunani sendiri yang terdiri dari 27 huruf. Bilangan dasar yang mereka pergunakan adalah 10.
Huruf-huruf itu mempunyai nilai-nilai sebagai berikut :
1 = α alpha 10 = ι iola
2 = β beta 20 = κ kappa
3 = γ gamma 30 = λ lambda
4 = δ delta 40 = μ mu
5 = ε epsilon 50 = ν nu
6 = ζ obselet digamma 60 = ξ xi
7 = ι zeta 70 = ο omicron
8 = η eta 80 = π pi
9 = θ theta 90 = ά obselet koppa

100 = ρ rho
200 = σ sigma
300 = τ tau
400 = υ upsilon
500 = φ phi
600 = χ chi
700 = ψ psi
800 = ω omega
900 = Ў obselet sampi
Contoh – contoh :
1. 12 = ι β
2. 21 = κ α
3. 247 = σ μ ς
Sebagaimana kita lihat pada contoh-copntoh di atas sampai ratusan, sistem angka alphabet yunani ini mempunyai lambang tersendiri.
Untuk menyatakan ribuan, di atas sembilan angka dasar yang pertama (dari .. sampai ) dibubuhi tanda aksen (‘) sebagai contoh α’ = 1000, ε’ = 5000.
Sedangkan kelipatan 10.000 dinyatakan dengan menaruh angka yang bersangkutan di atas tanda M.
Contoh.
4. 5000 = ε ‘
5. 3567 = γ’ φ ξ ς

Dibandingkan dengan sistem angka Mesir Purba, maka penulisan dengan sistem angka alphabet Yunani ini lebih singkat dan sistematis. Sebagai contoh untuk penulisan untuk penulisan bilangan 500 dalam sistem angka Mesir Purba lambang 9 ditulis sampai 5 kali tetapi dalam sistem angka alphabet yunani telah mempunyai lambang tersendiri yaitu φ