UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS)
MATA KULIAH : ILMU BILANGAN
SEMESTER/KELAS : I / A-B-C
HARI / TANGGAL : SENIN, 22 NOPEMBER 2010
WAKTU : 60 MENIT
1. 1. Jika a,b bilangan real dengan operasi didefinisakan sebagai berikut : a b = a + b -3.
Apakah operasi berlaku :
a. Sifat tertutup?
b. Sifat komutatif?
c. Sifat assosiatif?
d. Unsur satuan?
e. Unsur invers?
Jelaskan dengan mengambil sebuah contoh!
(Skor 25)
Penyelesaian
a. Ambil a = 4, b = 5 dan c = 2 dimana a,b,c Real
Maka a b = 4 + 5 – 3
= 9 – 3
= 6 Real
Jadi berlaku sifat tertutup.
b. a b = 4 + 5 – 3 = 6
b a = 5 + 4 – 3 = 6
jadi a b = b a, berlaku sifat komutatif.
c. (a b) c = (4 + 5 – 3) 2
= 6 2 = 6 + 2 – 3 = 5
a (b c) = 4 (5 + 2 – 3)
= 4 4 = 4 + 4 – 3 = 5
Jadi (a b) c = a (b c), berlaku sifat assosiatif.
d. (a 3) = a +3 – 3 = a
(3 a) = 3 + a – 3 = a
Jadi (a 3) = (3 a) = a, terdapat unsur satuan identitas 3
e. Misalkan invers operasi dari a Real adalah p Real, maka harus berlaku
p a = 3
p + a – 3 = 3
p = 6 – a
Jadi invers dari a Real adalah (6 – a) Real, sebab :
a (6 – a) = a + 6 – a – 3 = 3
2. 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan , dengan
Penyelesaian :
H.P = { 1/3i , -3i}
3. 3. Tentukan suatu persamaan dengan koefisien real yang akar-akarnya : akar 2i, 1 – i
Penyelesaian :
(x - √2 i)[x – (1 – i)][x - (1 + i)] = 0
(x - √2 i)[x2 – x – xi – x + xi + 1 – i2 = 0
(x - √2 i)(x2 – 2x + 2) = 0
x3 – 2x2 + 2x - √2 ix2 + √2 ix - 2√2 i = 0
x3 – (2 + √2 i)x2 + (2 +√2 i)x - 2√2 i = 0
4. 4. Tentukan akar dari bilangan kompleks -5 + 12i
Penyelasaian :
Misalkan akar dari -5 + 12i = a + bi, maka :
(a + bi)2 = -5 + 12i
a2 + 2 abi + b2i2 = -5 + 12i
a2 - b2 + 2abi = -5 + 12i, didapat kesamaan :
a2 - b2 = -5 .......................(1)
2abi = 12i
ab = 6
a = 6/b ....................(2)
subtitusi (2) ke (1), maka didapat :
(kedua ruas dikali b2)
36 – b4 = - 5b2
b4 - 5b2 – 36 = 0 untuk b1 = 3 maka a1 = 2
(b2 – 9)(b2 + 4) = 0 b2 = -3 maka a2 = -2
b2 = 9 atau b2 = -4 b3 = 2i maka a3 = -3i
b1 = 3 b3 = 2i b4 = - 2i maka a4 = 3i
b2 = -3 b4 = - 2i
Jadi akar dari -5 + 12 i adalah 2 + 3i atau -2 – 3i
5. 5. Jelaskan tentang sistem numerasi suku maya! (lambang yang digunakan, bilangan dasar yang digunakan, contoh penggunaan untuk bilangan 74.645 dalam sistem numerasi maya)
Penyelesaian.
Lambang – lambang dari sistem numerasi ini adalah gabungan antara garis dan noktah. Dimana untuk bilangan yang lebih dari 19 menggunakan basis 20, sedangan untuk bilangan – bilangan yang besar menggunakan basis 18.20, 18.20², 18.20³, ...,18.20n.
Dalam sistem penulisan numerasi ini dimulai dari atas ke bawah, mulai dari pangkat yang tertinggi sampai pangkat terendah. Lambang-lambang dasar yang digunakan adalah sebagai berikut :
1 = ●
2 = ● ●
3 = ● ● ●
4 = ● ● ● ●
5 = ▬
6 = ● _
7 = ●●
8 = _●●●
9 = ●●●●
10 = ═
0 = ө
